Case-Study zur Arbeitslosigkeit in Deutschland

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## Organisatorische Hinweise

- Bis zum 06.05.2024 ist das 5. R-Tutor Problem Set auf Moodle hochzuladen (nur die .sub-Datei!)
- Bis zum 13.05.2024 ist das 6. R-Tutor Problem Set auf Moodle hochzuladen (nur die .sub-Datei!)
- Am 22.05.2024 findet die Probeklausur in Präsenz im Hörsaal H20 statt: Beginn 08:30 Uhr

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## Recap der Vorlesungsinhalte

- Wir hatten die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Normalverteilung besprochen
- Wir hatten über die Stichprobenvarianz, Standardfehler und Konfidenzintervalle gesprochen
- Wir hatten einen Hypothestest durchgeführt
- Wir hatten die Korrelation von zwei Variablen und die lineare Regression betrachtet
- Anschließend sind wir in der multiplen linearen Regression auch auf Interaktionsterme eingegangen

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# Empirische Analyse unserer Case-Study

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## Induktive Statistik

- Interesse gilt nicht dem Datensatz selbst, sondern der Population
  - Sie haben keine Vollerhebung durchgeführt, sondern nur eine (zufällige) Stichprobe der Population gezogen
- **Beispiel:** Mikrozensus, d.h. eine Befragung von zufällig ausgewählten Haushalten in Deutschland
- Sie wollen aus der Stichprobe schätzen, wie sich die beobachtete Größe in der Population verhält
- Es gibt viele Arten der induktiven Statistik. Die zwei häufigsten:
  - Vorhersage
  - Erkennen kausaler Zusammenhänge

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## Bereiche der induktiven Statistik

- Stichprobentheorie
  - Güte der Stichprobe; Wichtig um repräsentative Ergebnisse zu erhalten
- Schätztheorie
  - Punktschätzer und Konfidenzintervalle
- Testtheorie
  - Hypothesentest, lineare Regression

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# Wie sieht die induktive Statistik in der Praxis aus?

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## Dritter Teil der Case Study

Daten aus der Case-Study, welche wir im vorherigen Semester eingelesen und deskriptiv analysiert haben wollen wir nun mittels der induktiven Statistik näher untersuchen.

- Erster Schritt: Kurzer Recap mittels bivariater deskriptiver Statistik um den Zusammenhang verschiedener Variablen darzustellen
- Zweiter Schritt: (Multiple) lineare Regression der Daten um herauszufinden, welche Faktoren die Arbeitslosenquote in den deutschen Landkreisen treibt 
  - Darstellung mit dem Paket `modelsummary` + `kableExtra`
  - [Sehr gute Vignette des Pakets `modelsummary`](https://vincentarelbundock.github.io/modelsummary/articles/modelsummary.html)

Ziele des dritten Teils der Case Study:

- (Multiple) lineare Regression und Interpretation der Koeffizienten
- Interaktionsterme
- Besprechen der Kausalität

.alert[Im vierten RTutor Problem Set beschäftigen Sie sich auch mit der linearen Regression zu einzelnen Ländern auf europäischer Ebene und im 5. und 6. Problem Set geht es um die Kausalität.]

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## Daten und Pakete laden

Wir laden die aus Teil 1 der Case-Study erstellten Datensätze:

```r
library(tidyverse)
library(modelsummary)
library(kableExtra)
library(corrr)
```

```r
# Daten einlesen
bip_zeitreihe <- readRDS("../case-study/data/bip_zeitreihe.rds")
gesamtdaten <- readRDS("../case-study/data/gesamtdaten.rds")

# Zuerst wollen wir die Arbeitslosenquote, einen Dummy für Ostdeutschland und die Verschuldung im Verhältnis zum BIP pro Landkreisberechnen
gesamtdaten <- gesamtdaten %>%
  mutate(alo_quote = (total_alo / (erw+total_alo))*100,
         ost = as.factor(ifelse(bundesland_name %in% c("Brandenburg", "Mecklenburg-Vorpommern", "Sachsen", "Sachsen-Anhalt", "Thüringen"), 1, 0)),
         ost_name = ifelse(ost == 1, "Ostdeutschland", "Westdeutschland"),
         anteil_schulden = (Schulden_gesamt / bip)*100)

bip_wachstum <- bip_zeitreihe %>%
  filter( nchar(Regionalschluessel) == 5) %>%
  group_by(Regionalschluessel) %>%
  arrange(Jahr) %>%
  mutate( bip_wachstum = 100*(bip - lag(bip)) / bip ) %>%
  ungroup() %>%
  filter( Jahr == 2021 ) %>%
  select(Regionalschluessel, bip_wachstum, Jahr)

gesamtdaten <- left_join(gesamtdaten, bip_wachstum, by = "Regionalschluessel")
```
]

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# Bivariate deskriptive Analysen (Korrelationen)

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## Korrelation zwischen den einzelnen Variablen

Wir hatten uns im letzten Semester bereits die Korrelation der einzelnen Variablen angeschaut und wollen diese Korrelationen noch einmal aufgreifen:

.instructions[Bevor wir uns der Regressionsanalyse zuwenden schauen wir uns den Zusammenhang der unterschiedlichen Variablen erst visuell noch einmal an.]

- Wie hoch ist die Korrelation zwischen Arbeitslosenquote und BIP Wachstum?
- Wie hoch ist sie zwischen Arbeitslosenquote und dem Anteil der Schulden?
- Und schlussendlich: Wie hoch ist die Korrelation zwischen dem BIP Wachstum und dem Anteil der Schulden?

.alert[Hierdurch bekommen wir einen ersten Eindruck der Daten und werden auf mögliche Probleme aufmerksam, wie z.B. Multikolliniarität.]

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## Korrelation zwischen der Arbeitslosenquote und dem BIP Wachstum

```r
cor_alo_bip <- cor(gesamtdaten$alo_quote, 
    gesamtdaten$bip_wachstum,
    use = "pairwise.complete.obs")

gesamtdaten %>%
  ggplot(aes(x = bip_wachstum, y = alo_quote)) + 
  geom_point() + 
  labs( x = "Wachstum des BIP %", 
        y = "Arbeitslosenquote in %",
        title = "Korrelation des BIP-Wachstums und der Arbeitslosenquote") +
  theme_minimal() +
  geom_text(x = 0.02, y =13, label = paste("r = ", as.character(round(cor_alo_bip,2))))
```
]

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## Korrelation zwischen der Arbeitslosenquote und dem Anteil der Schulden

```r
cor_alo_verschuldung <- cor(gesamtdaten$alo_quote, gesamtdaten$anteil_schulden,use = "pairwise.complete.obs")

gesamtdaten %>%
  ggplot(aes(x = anteil_schulden, y = alo_quote)) + 
  geom_point() + 
  labs( x = "Anteil der Schulden am BIP in %", 
        y = "Arbeitslosenquote in %",
        title = "Korrelation der öffentlichen Verschuldung und der Arbeitslosenquote") +
  theme_minimal() +
  geom_text(x = 0.02, y =13, label = paste("r = ", as.character(round(cor_alo_verschuldung,2))))
```
]

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## Korrelationsmatrix

```r
korrelationen <- gesamtdaten %>%
  select(bip_wachstum, anteil_schulden, alo_quote) %>%
  correlate() %>% # Korrelationen erzeugen
  rearrange() %>%  # Sortieren nach Korrelation
  shave() # Oberen Teil der Tabelle abschneiden

fashion(korrelationen)
```

```
##              term bip_wachstum alo_quote anteil_schulden
## 1    bip_wachstum                                       
## 2       alo_quote         -.01                          
## 3 anteil_schulden         -.09       .60
```

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## Interpretation der Korrelation

- Hat an sich keine intuitive quantitative Interpretation
- Ist eine univariate Repräsentation des Zusammenhangs zweier Variablen
- Kann dabei helfen stark korrelierte Variablen im Datensatz aufzuzeigen
  - Dies ist für eine spätere lineare Regression wichtig
  - Stichwort Multikollinearität

In empirischen Arbeiten wird meist auf die lineare Regression zurückgegriffen und nicht auf die Analyse von Korrelationen:
  - Schätzer aus der linearen Regression sind BLUE (best linear unbiased estimator)
  - Wir können auf mehrere Variablen kontrollieren in der linearen Regression

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# Einfache lineare Regression

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## Lineare Regression

Zur weiteren Analyse wollen wir uns der linearen Regression bedienen:

$$ 
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i, \, i=1,\dots,N 
$$

Wobei wir die Arbeitslosenquote ( `$y_i$` ) auf das BIP Wachstum ( `$x_i$` ) regressieren.

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## Arbeitslosenquote auf das BIP Wachstum regressieren

```r
bip <- lm(alo_quote ~ bip_wachstum, data = gesamtdaten)

modelsummary(list(bip, bip, bip),
          type = "html",
          statistic = NULL,
          fmt = 2,
          estimate  = c("estimate",
                "{estimate}{stars}",
                "{estimate} [{conf.low}, {conf.high}]"),
          title = "Arbeitslosigkeit auf BIP-Wachstum",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("bip_wachstum" = "BIP-Wachstum", "(Intercept)" = "Konstante")
          )
```

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## Arbeitslosenquote auf das BIP Wachstum regressieren

```{=html}
<!DOCTYPE html> 
<html lang="en">
  <head>
    <meta charset="UTF-8">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
    <title>tinytable_5iwlvhpsfltf4gvezvjd</title>
    <style>
.table td.tinytable_css_5h12n7bgjung23tc60i5, .table th.tinytable_css_5h12n7bgjung23tc60i5 {    border-bottom: solid 0.1em #d3d8dc; }
.table td.tinytable_css_1mney509mw3v9ke61ss2, .table th.tinytable_css_1mney509mw3v9ke61ss2 {    text-align: left; }
.table td.tinytable_css_you1i6lzpj969k79fbg6, .table th.tinytable_css_you1i6lzpj969k79fbg6 {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_wcyz4ixva5hj2q5x09ys, .table th.tinytable_css_wcyz4ixva5hj2q5x09ys {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_fcvs7ag2881nzk984q8d, .table th.tinytable_css_fcvs7ag2881nzk984q8d {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_8sr2dp5w3trfn9roo8kv, .table th.tinytable_css_8sr2dp5w3trfn9roo8kv {    border-bottom: solid 0.05em black; }
    </style>
    <script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script>
    <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
    <script>
    MathJax = {
      tex: {
        inlineMath: [['$', '$'], ['\$', '\$']]
      },
      svg: {
        fontCache: 'global'
      }
    };
    </script>
  </head>

<body>
    <div class="container">
      <table class="table table-borderless" id="tinytable_5iwlvhpsfltf4gvezvjd" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;" data-quarto-disable-processing='true'>
        <thead>
        <caption>Arbeitslosigkeit auf BIP-Wachstum</caption>
              <tr>
                <th scope="col"> </th>
                <th scope="col">(1)</th>
                <th scope="col">(2)</th>
                <th scope="col">(3)</th>
              </tr>
        </thead>
        
        <tbody>
                <tr>
                  <td>Konstante   </td>
                  <td>5.32  </td>
                  <td>5.32***</td>
                  <td>5.32 [4.93, 5.71]  </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>            </td>
                  <td>(0.20)</td>
                  <td>(0.20) </td>
                  <td>(0.20)             </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>BIP-Wachstum</td>
                  <td>-0.01 </td>
                  <td>-0.01  </td>
                  <td>-0.01 [-0.07, 0.06]</td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>            </td>
                  <td>(0.03)</td>
                  <td>(0.03) </td>
                  <td>(0.03)             </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Num.Obs.    </td>
                  <td>398   </td>
                  <td>398    </td>
                  <td>398                </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2          </td>
                  <td>0.000 </td>
                  <td>0.000  </td>
                  <td>0.000              </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2 Adj.     </td>
                  <td>-0.002</td>
                  <td>-0.002 </td>
                  <td>-0.002             </td>
                </tr>
        </tbody>
      </table>
    </div>

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window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_ya0tmq7y0igvqut37zuq(3, 2, 'tinytable_css_wcyz4ixva5hj2q5x09ys') })
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window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_ya0tmq7y0igvqut37zuq(4, 3, 'tinytable_css_fcvs7ag2881nzk984q8d') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_ya0tmq7y0igvqut37zuq(5, 3, 'tinytable_css_fcvs7ag2881nzk984q8d') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_ya0tmq7y0igvqut37zuq(6, 3, 'tinytable_css_fcvs7ag2881nzk984q8d') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_ya0tmq7y0igvqut37zuq(7, 3, 'tinytable_css_fcvs7ag2881nzk984q8d') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_ya0tmq7y0igvqut37zuq(4, 0, 'tinytable_css_8sr2dp5w3trfn9roo8kv') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_ya0tmq7y0igvqut37zuq(4, 1, 'tinytable_css_8sr2dp5w3trfn9roo8kv') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_ya0tmq7y0igvqut37zuq(4, 2, 'tinytable_css_8sr2dp5w3trfn9roo8kv') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_ya0tmq7y0igvqut37zuq(4, 3, 'tinytable_css_8sr2dp5w3trfn9roo8kv') })
    </script>

</body>

</html>
```

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## Arbeitslosenquote auf das BIP Wachstum regressieren

```r
bip <- lm(alo_quote ~ bip_wachstum, data = gesamtdaten)

---

## Arbeitslosenquote auf das BIP Wachstum regressieren

```{=html}
<!DOCTYPE html> 
<html lang="en">
  <head>
    <meta charset="UTF-8">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
    <title>tinytable_ou7urknsqz96pol1l2fa</title>
    <style>
.table td.tinytable_css_ffcugyjra25ahg8cnzv2, .table th.tinytable_css_ffcugyjra25ahg8cnzv2 {    border-bottom: solid 0.1em #d3d8dc; }
.table td.tinytable_css_rkfie5ex279t1acc8i4v, .table th.tinytable_css_rkfie5ex279t1acc8i4v {    text-align: left; }
.table td.tinytable_css_0fxk3ssuqeqikalevz9d, .table th.tinytable_css_0fxk3ssuqeqikalevz9d {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_nlp5f7jzsq0ey28wygxv, .table th.tinytable_css_nlp5f7jzsq0ey28wygxv {    border-bottom: solid 0.05em black; }
    </style>
    <script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script>
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  </head>

<body>
    <div class="container">
      <table class="table table-borderless" id="tinytable_ou7urknsqz96pol1l2fa" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;" data-quarto-disable-processing='true'>
        <thead>
        
              <tr>
                <th scope="col"> </th>
                <th scope="col">(1)</th>
              </tr>
        </thead>
        
        <tbody>
                <tr>
                  <td>Konstante   </td>
                  <td>5.32         </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>            </td>
                  <td>[4.81, 5.83] </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>BIP-Wachstum</td>
                  <td>-0.01        </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>            </td>
                  <td>[-0.09, 0.08]</td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Num.Obs.    </td>
                  <td>398          </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2          </td>
                  <td>0.000        </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2 Adj.     </td>
                  <td>-0.002       </td>
                </tr>
        </tbody>
      </table>
    </div>

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    </script>

</body>

</html>
```

---

## Erkenntnisse aus der Regressionstabelle

- 398 Beobachtungen
- R² mit 0.01 recht klein
    - R² kann künstlich nach oben getrieben werden, darum besser _adjusted_ R² anschauen
- R² ist irrelevant wenn wir unsere Schätzer kausal interpetieren wollen
    - R² misst die Variation in `$y$`, diese wollen wir aber gar nicht erklären, sondern ob `$x$` einen kausalen Einfluss auf `$y$` hat!
- R² ist wichtiger bei Vorhersagen
    - Bei Vorhersagen möchten wir nach Möglichkeit `$y$` so gut es geht erklären.
- Bei Zeitreihendaten ist das R² tendenziell immer höher als bei Querschnitts- oder Paneldaten

---

## Erkenntnisse aus der Regressionstabelle

Interessanter: Der geschätze Koeffizient zum `BIP-Wachstum` in Höhe von 0,09.

> Eine um 1 Prozentpunkt höheres BIP Wachstum korrespondiert im Durchschnitt mit einer um 0,09 Prozentpunkte niedrigeren Arbeitslosenquote.

> Die erwartete Arbeitslosenquote bei einem Wachstum von 0% liegt im Durchschnitt bei 5,64 Prozent.

---

## Erkenntnisse aus der Regressionstabelle

Weitere wichtige Erkenntnis aus der Tabelle:

- Der Koeffizient von `BIP-Wachstum` ist auf dem 10%-Niveau signifikant

Landkreise mit einem höheren BIP Wachstum könnten neue Unternehmen angesiedelt haben, welche neue Mitarbeiter brauchen. Daher würde ein entsprechend negativer Zusammenhang zwischen BIP-Wachstum und Arbeitslosenquote unseren Erwartungen entsprechen.

---

## Arbeitslosenquote auf öffentliche Schulden regressieren

```r
schulden <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden, data=gesamtdaten)

modelsummary(schulden, 
          type = "html",
          fmt = 2,
          statistic = 'conf.int', 
          conf_level = .99,
          title = "Arbeitslosigkeit auf Anteil der Schulden pro Landkreis",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("anteil_schulden" = "Anteil der Schulden", "(Intercept)" = "Konstante")
          ) 
```

---

## Arbeitslosenquote auf öffentliche Schulden regressieren

```{=html}
<!DOCTYPE html> 
<html lang="en">
  <head>
    <meta charset="UTF-8">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
    <title>tinytable_eah0njyapsllqueru1je</title>
    <style>
.table td.tinytable_css_o9pfjjiyj8n94hhazsf7, .table th.tinytable_css_o9pfjjiyj8n94hhazsf7 {    border-bottom: solid 0.1em #d3d8dc; }
.table td.tinytable_css_fuu2u7pgsah2leaf2trg, .table th.tinytable_css_fuu2u7pgsah2leaf2trg {    text-align: left; }
.table td.tinytable_css_5danioa0l1wpx7r92yo3, .table th.tinytable_css_5danioa0l1wpx7r92yo3 {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_4kcgdnyfmgjpdc489v65, .table th.tinytable_css_4kcgdnyfmgjpdc489v65 {    border-bottom: solid 0.05em black; }
    </style>
    <script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script>
    <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
    <script>
    MathJax = {
      tex: {
        inlineMath: [['$', '$'], ['\$', '\$']]
      },
      svg: {
        fontCache: 'global'
      }
    };
    </script>
  </head>

<body>
    <div class="container">
      <table class="table table-borderless" id="tinytable_eah0njyapsllqueru1je" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;" data-quarto-disable-processing='true'>
        <thead>
        <caption>Arbeitslosigkeit auf Anteil der Schulden pro Landkreis</caption>
              <tr>
                <th scope="col"> </th>
                <th scope="col">(1)</th>
              </tr>
        </thead>
        
        <tbody>
                <tr>
                  <td>Konstante          </td>
                  <td>3.48        </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                   </td>
                  <td>[3.10, 3.85]</td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Anteil der Schulden</td>
                  <td>0.24        </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                   </td>
                  <td>[0.20, 0.28]</td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Num.Obs.           </td>
                  <td>396         </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2                 </td>
                  <td>0.360       </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2 Adj.            </td>
                  <td>0.359       </td>
                </tr>
        </tbody>
      </table>
    </div>

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    </script>

</body>

</html>
```

---

## Erkenntnisse aus der Regressionstabelle

Der geschätze Koeffizient zum `Anteil der öffentlichen Schulden` lieg bei 0,24.

> Eine um 1 Prozentpunkt höhere Verschuldung korrespondiert im Durchschnitt mit einer um 0,24 Prozentpunkte höheren Arbeitslosenquote

Die Interpretation der Konstante wäre dann wie folgt:

> Für einen Landkreis ohne Verschuldung wäre die erwartete Arbeitslosenquote im Durchschnitt bei 3,48 Prozent.

.alert[Ein stark verschuldeter öffentlicher Haushalt hat potentiell weniger Gewerbeeinnahmen und da dort potentiell weniger Unternehmen vorhanden sind in denen Arbeitnehmer angestellt sein könnten.]

---

# Multiple lineare Regression

---

## Multiple lineare Regression

- Sowohl das BIP Wachstum, als auch die öffentliche Verschuldung sind wichtige Faktoren zur Erklärung der Arbeitslosenquote
- Öffentliche Verschuldung schien wichtiger zu sein, doch können wir beide Variablen in EINE Regression aufnehmen?

`\begin{equation}
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + ... + \beta_K x_{iK} + \varepsilon_i, \, i=1,\dots,N 
\end{equation}`

- Durch die multiple lineare Regression können wir den Effekt einer unabhängigen Variablen auf die abhängige Variable untersuchen und zusätzlich auf den Effekt anderer Variablen **kontrollieren**. 
- Konkret: BIP-Wachstum und öffentliche Verschuldung in eine Regression packen!

---

## Multiple lineare Regression

```r
multi <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden + bip_wachstum, data=gesamtdaten)

modelsummary(multi, 
          type = "html", 
          fmt = 2,
          statistic = 'conf.int', 
          conf_level = .99,
          title = "Arbeitslosigkeit auf Anteil Schulden und BIP-Wachstum",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("anteil_schulden" = "Anteil der Schulden", "bip_wachstum" = "BIP-Wachstum", "(Intercept)" = "Konstante")
          ) 
```

---

## Multiple lineare Regression

```{=html}
<!DOCTYPE html> 
<html lang="en">
  <head>
    <meta charset="UTF-8">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
    <title>tinytable_98efj84wk45qto3hqu42</title>
    <style>
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.table td.tinytable_css_lfwj7y6cd0whzl7mmvyr, .table th.tinytable_css_lfwj7y6cd0whzl7mmvyr {    text-align: left; }
.table td.tinytable_css_zkcl3vgi3mb7713gyau4, .table th.tinytable_css_zkcl3vgi3mb7713gyau4 {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_rptyolm9gmo6669rpble, .table th.tinytable_css_rptyolm9gmo6669rpble {    border-bottom: solid 0.05em black; }
    </style>
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    <script>
    MathJax = {
      tex: {
        inlineMath: [['$', '$'], ['\$', '\$']]
      },
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      }
    };
    </script>
  </head>

<body>
    <div class="container">
      <table class="table table-borderless" id="tinytable_98efj84wk45qto3hqu42" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;" data-quarto-disable-processing='true'>
        <thead>
        <caption>Arbeitslosigkeit auf Anteil Schulden und BIP-Wachstum</caption>
              <tr>
                <th scope="col"> </th>
                <th scope="col">(1)</th>
              </tr>
        </thead>
        
        <tbody>
                <tr>
                  <td>Konstante          </td>
                  <td>3.33         </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                   </td>
                  <td>[2.80, 3.86] </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Anteil der Schulden</td>
                  <td>0.24         </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                   </td>
                  <td>[0.20, 0.28] </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>BIP-Wachstum       </td>
                  <td>0.03         </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                   </td>
                  <td>[-0.04, 0.09]</td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Num.Obs.           </td>
                  <td>396          </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2                 </td>
                  <td>0.362        </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2 Adj.            </td>
                  <td>0.359        </td>
                </tr>
        </tbody>
      </table>
    </div>

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    </script>

</body>

</html>
```
]

.pull-right[
- Varianz wird zum Größten Teil durch die öffentlichen Schulden erklärt
- Schätzer für die Verschuldung bleibt in Höhe und Signifikanz bestehen
- BIP-Wachstum nicht mehr signifikant und Koeffizient deutlich kleiner
]

---

# Sample Splits und Interaktionsmodell

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

Durch die deskriptive Analyse wissen wir, dass es große Unterschiede zwischen ost- und westdeutschen Landkreisen gibt (und das in allen untersuchten Dimensionen).

.question[Gilt der dokumentierte Zusammenhang zwischen dem Anteil der öffentlichen Verschuldung und der Arbeitslosenquote für Ost- und Westdeutschland gleichermaßen?]

Um dieser Frage auf den Grund zu gehen wollen wir im ersten Schritt die Variable `Ostdeutschland` in unserer Regression hinzufügen:

```r
schulden <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden + ost, data=gesamtdaten)

modelsummary(schulden, 
          type = "html", 
          fmt = 2,
          statistic = 'conf.int', 
          conf_level = .99,
          title = "Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("anteil_schulden" = "Anteil der Schulden", "ost1" = "Ostdeutschland", "(Intercept)" = "Konstante")
          ) 
```

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

```{=html}
<!DOCTYPE html> 
<html lang="en">
  <head>
    <meta charset="UTF-8">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
    <title>tinytable_zjcym4fccdke2mm5d12h</title>
    <style>
.table td.tinytable_css_xcqcic84i3xznwkagmm7, .table th.tinytable_css_xcqcic84i3xznwkagmm7 {    border-bottom: solid 0.1em #d3d8dc; }
.table td.tinytable_css_ilrgls4c330h4ko7hvb9, .table th.tinytable_css_ilrgls4c330h4ko7hvb9 {    text-align: left; }
.table td.tinytable_css_0tqxvymxi1ubbziv65ns, .table th.tinytable_css_0tqxvymxi1ubbziv65ns {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_4l2z4657j8odcn9kft05, .table th.tinytable_css_4l2z4657j8odcn9kft05 {    border-bottom: solid 0.05em black; }
    </style>
    <script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script>
    <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
    <script>
    MathJax = {
      tex: {
        inlineMath: [['$', '$'], ['\$', '\$']]
      },
      svg: {
        fontCache: 'global'
      }
    };
    </script>
  </head>

<body>
    <div class="container">
      <table class="table table-borderless" id="tinytable_zjcym4fccdke2mm5d12h" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;" data-quarto-disable-processing='true'>
        <thead>
        <caption>Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen</caption>
              <tr>
                <th scope="col"> </th>
                <th scope="col">(1)</th>
              </tr>
        </thead>
        
        <tbody>
                <tr>
                  <td>Konstante          </td>
                  <td>3.31        </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                   </td>
                  <td>[2.95, 3.67]</td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Anteil der Schulden</td>
                  <td>0.23        </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                   </td>
                  <td>[0.19, 0.27]</td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Ostdeutschland     </td>
                  <td>1.36        </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                   </td>
                  <td>[0.84, 1.88]</td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Num.Obs.           </td>
                  <td>396         </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2                 </td>
                  <td>0.427       </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2 Adj.            </td>
                  <td>0.424       </td>
                </tr>
        </tbody>
      </table>
    </div>

window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_mqr60v1evbt3qaalr2uy(0, 0, 'tinytable_css_xcqcic84i3xznwkagmm7') })
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window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_mqr60v1evbt3qaalr2uy(5, 0, 'tinytable_css_ilrgls4c330h4ko7hvb9') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_mqr60v1evbt3qaalr2uy(6, 0, 'tinytable_css_ilrgls4c330h4ko7hvb9') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_mqr60v1evbt3qaalr2uy(7, 0, 'tinytable_css_ilrgls4c330h4ko7hvb9') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_mqr60v1evbt3qaalr2uy(8, 0, 'tinytable_css_ilrgls4c330h4ko7hvb9') })
window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_mqr60v1evbt3qaalr2uy(9, 0, 'tinytable_css_ilrgls4c330h4ko7hvb9') })
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window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_mqr60v1evbt3qaalr2uy(1, 1, 'tinytable_css_0tqxvymxi1ubbziv65ns') })
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window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_mqr60v1evbt3qaalr2uy(3, 1, 'tinytable_css_0tqxvymxi1ubbziv65ns') })
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window.addEventListener('load', function () { styleCell_tinytable_mqr60v1evbt3qaalr2uy(8, 1, 'tinytable_css_0tqxvymxi1ubbziv65ns') })
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    </script>

</body>

</html>
```
]

.pull-right[
- `Ostdeutschland` ist eine Dummyvariable, welche 1 ist für alle ostdeutschen Landkreise
- In ostdeutschen Landkreisen ist die Arbeitslosigkeit im Durchschnitt um 1.36 Prozentpunkte höher als in westdeutschen Landkreisen
- Koeffizient signifikant auf dem 1%-Signifikanzniveau
- Höheres R² (Varianz in der Alo-quote kann besser erklärt werden)
- Keine Auswirkung auf den Koeffizienten der öffentlichen Verschuldung
]

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

- Wir wollten wissen, ob der Zusammenhang zwischen öffentlicher Verschuldung und Arbeitslosenquote für alle ost- und westdeutschen Landkreise gleichermaßen gilt

.instruction[Dafür müssen wir die Variable `Ostdeutschland` mit der Variablen `Anteil Schulden` **interagieren**!]

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

```r
schulden <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden + ost, data=gesamtdaten)
ost <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden, data=filter(gesamtdaten, ost==1))
west <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden, data=filter(gesamtdaten, ost==0))
interaktion <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden*ost, data=gesamtdaten)

modelsummary(list(schulden, interaktion, west, ost), 
          type = "html", 
          fmt = 2,
          statistic = 'conf.int', 
          conf_level = .99,
          title = "Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("anteil_schulden" = "Anteil der Schulden", "ost1" = "Ostdeutschland", "(Intercept)" = "Konstante")
          ) 
```

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

```{=html}
<!DOCTYPE html> 
<html lang="en">
  <head>
    <meta charset="UTF-8">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
    <title>tinytable_ui1grug6rcthfwo5rmw6</title>
    <style>
.table td.tinytable_css_f7m7kjgzrnj415h357b3, .table th.tinytable_css_f7m7kjgzrnj415h357b3 {    border-bottom: solid 0.1em #d3d8dc; }
.table td.tinytable_css_dv5uedhgec3x396svb4y, .table th.tinytable_css_dv5uedhgec3x396svb4y {    text-align: left; }
.table td.tinytable_css_nvvc4jia48t2yb3k7xp1, .table th.tinytable_css_nvvc4jia48t2yb3k7xp1 {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_blf9alvm2qzyjdl17mej, .table th.tinytable_css_blf9alvm2qzyjdl17mej {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_oyz4zatoqbqyyme28zup, .table th.tinytable_css_oyz4zatoqbqyyme28zup {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_5cr5xzh55lud9gl0uiur, .table th.tinytable_css_5cr5xzh55lud9gl0uiur {    text-align: center; }
.table td.tinytable_css_vbzarj6sucvpv8s5uga1, .table th.tinytable_css_vbzarj6sucvpv8s5uga1 {    border-bottom: solid 0.05em black; }
    </style>
    <script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script>
    <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
    <script>
    MathJax = {
      tex: {
        inlineMath: [['$', '$'], ['\$', '\$']]
      },
      svg: {
        fontCache: 'global'
      }
    };
    </script>
  </head>

<body>
    <div class="container">
      <table class="table table-borderless" id="tinytable_ui1grug6rcthfwo5rmw6" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;" data-quarto-disable-processing='true'>
        <thead>
        <caption>Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen</caption>
              <tr>
                <th scope="col"> </th>
                <th scope="col">(1)</th>
                <th scope="col">(2)</th>
                <th scope="col">(3)</th>
                <th scope="col">(4)</th>
              </tr>
        </thead>
        
        <tbody>
                <tr>
                  <td>Konstante                         </td>
                  <td>3.31        </td>
                  <td>3.23          </td>
                  <td>3.23        </td>
                  <td>6.11         </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                                  </td>
                  <td>[2.95, 3.67]</td>
                  <td>[2.86, 3.59]  </td>
                  <td>[2.85, 3.60]</td>
                  <td>[4.75, 7.46] </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Anteil der Schulden               </td>
                  <td>0.23        </td>
                  <td>0.24          </td>
                  <td>0.24        </td>
                  <td>0.06         </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                                  </td>
                  <td>[0.19, 0.27]</td>
                  <td>[0.20, 0.28]  </td>
                  <td>[0.20, 0.28]</td>
                  <td>[-0.08, 0.21]</td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Ostdeutschland                    </td>
                  <td>1.36        </td>
                  <td>2.88          </td>
                  <td>            </td>
                  <td>             </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                                  </td>
                  <td>[0.84, 1.88]</td>
                  <td>[1.43, 4.33]  </td>
                  <td>            </td>
                  <td>             </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Anteil der Schulden:Ostdeutschland</td>
                  <td>            </td>
                  <td>-0.18         </td>
                  <td>            </td>
                  <td>             </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                                  </td>
                  <td>            </td>
                  <td>[-0.34, -0.02]</td>
                  <td>            </td>
                  <td>             </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Num.Obs.                          </td>
                  <td>396         </td>
                  <td>396           </td>
                  <td>321         </td>
                  <td>75           </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2                                </td>
                  <td>0.427       </td>
                  <td>0.439         </td>
                  <td>0.414       </td>
                  <td>0.017        </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>R2 Adj.                           </td>
                  <td>0.424       </td>
                  <td>0.435         </td>
                  <td>0.412       </td>
                  <td>0.004        </td>
                </tr>
        </tbody>
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## Darstellung der GOF

```{=html}
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    <title>tinytable_ax9cs7ojcjowad8svhne</title>
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    <div class="container">
      <table class="table table-borderless" id="tinytable_ax9cs7ojcjowad8svhne" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;" data-quarto-disable-processing='true'>
        <thead>
        <caption>Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen</caption>
              <tr>
                <th scope="col"> </th>
                <th scope="col">(1)</th>
                <th scope="col">(2)</th>
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                <th scope="col">(4)</th>
              </tr>
        </thead>
        
        <tbody>
                <tr>
                  <td>Konstante                         </td>
                  <td>3.31        </td>
                  <td>3.23          </td>
                  <td>3.23        </td>
                  <td>6.11         </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                                  </td>
                  <td>[2.95, 3.67]</td>
                  <td>[2.86, 3.59]  </td>
                  <td>[2.85, 3.60]</td>
                  <td>[4.75, 7.46] </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Anteil der Schulden               </td>
                  <td>0.23        </td>
                  <td>0.24          </td>
                  <td>0.24        </td>
                  <td>0.06         </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                                  </td>
                  <td>[0.19, 0.27]</td>
                  <td>[0.20, 0.28]  </td>
                  <td>[0.20, 0.28]</td>
                  <td>[-0.08, 0.21]</td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Ostdeutschland                    </td>
                  <td>1.36        </td>
                  <td>2.88          </td>
                  <td>            </td>
                  <td>             </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                                  </td>
                  <td>[0.84, 1.88]</td>
                  <td>[1.43, 4.33]  </td>
                  <td>            </td>
                  <td>             </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Anteil der Schulden:Ostdeutschland</td>
                  <td>            </td>
                  <td>-0.18         </td>
                  <td>            </td>
                  <td>             </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>                                  </td>
                  <td>            </td>
                  <td>[-0.34, -0.02]</td>
                  <td>            </td>
                  <td>             </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>N                                 </td>
                  <td>396         </td>
                  <td>396           </td>
                  <td>321         </td>
                  <td>75           </td>
                </tr>
                <tr>
                  <td>Adj. R<sup>2</sup>                </td>
                  <td>0.42        </td>
                  <td>0.43          </td>
                  <td>0.41        </td>
                  <td>0.00         </td>
                </tr>
        </tbody>
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```

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## Sample Splits und Interaktionsmodell

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- Spalte 2 repräsentiert das Interaktionsmodell
- In Spalte 3 und 4 wurden separate Regressionen für alle westdeutschen (Spalte 3) und ostdeutschen (Spalte 4) Landkreise durchgeführt
- Analyse von Spalte 2 im Zusammenspiel mit Spalte 3 und 4 erleichtert das Verständis für die Interaktionsvariable

--
- **Konstante:** 
  - In Spalte 3 (für Westdeutsche) bei 3.23, was dem Wert aus Spalte 2 (Interaktionsmodell) entspricht.
  - In Spalte 4 (für Ostdeutsche) bei 6.11
  - Die durchschnittliche Arbeitslosenquote für einen unverschuldeten ostdeutschen Landkreis liegt deutlich höher als bei einem westdeutschen (3.23 Prozent vs. 6.11 Prozent)

`$\rightarrow$` Dummy Variable `Ostdeutschland` und die Konstante aufaddieren: `Ostdeutschland + Constant` = `2.88 + 3.23` = `6.11` (Achtung: Rundung)!

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## Sample Splits und Interaktionsmodell

- **Anteil Schulden:**
    - In Spalte 3 (für Westdeutsche) bei 0.24, was dem Wert aus Spalte 2 (Interaktionsmodell) entspricht
    - In Spalte 4 (für Ostdeutsche) ist der Zusammenhang deutlich kleiner und insignifikant
    - Für alle westdeutschen Landkreise gibt es einen signifikanten Zusammenhang zwischen der öffentlichen Verschuldung und der Arbeitslosenquote    
    - Direkt ersichtlich das der Zusammenhang für ostdeutsche Landkreise signifikant kleiner ist als für westdeutsche (um -0.18 Prozentpunkte, der Koeffizient von `Anteil Schulden * Ostdeutschland`

`$\rightarrow$` Wenn wir uns den Zusammenhang für alle ostdeutschen Landkreise berechnen möchten, dann ergibt sich dieser als `Anteil Schulden + Anteil Schulden * Ostdeutschland` = `0.24 + (-0.18)` = `0.06`

**Vorteil des Interaktionsmodells:**

Durch das Interaktionsmodell nutzen wir **eine** Regression und verwenden den kompletten Datensatz, dadurch hat unsere Regression mehr Power um Effekte zu finden.

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# Sind diese Ergebnisse _kausal_ zu interpretieren?

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## Sind diese Ergebnisse _kausal_ zu interpretieren?

- Basieren auf Beobachtungsdaten
- Arbeitslosenquote könnte noch von vielen anderen Faktoren beeinflusst sein, welche wir hier nicht aufgenommen haben (z.B. der Bevölkerungszuwachs oder die Inflation)
- Um kausale Effekte messen zu können müssten wir entweder ein kontrolliert randomisiertes Experiment durchführen oder uns ein natürliches Experiment in den Daten zunutze machen

.instructions[Kausale Antworten auf verschiedenste Fragen wollen wir in den folgenden Vorlesungseinheiten auf der Basis anderer Datensätze tätigen.]

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## Zusammenfassung

- Es gibt starke regionale Unterschiede in Deutschland
- Der Anteil der öffentlichen Schulden scheint ein wichtiger Faktor zur Vorhersage der Arbeitslosenquote zu sein
- Eine fundierte deskriptive Analyse schafft die Grundlage für eine spätere fundierte tiefergehende Analyse mittels linearer Regression

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## Übungsaufgaben

Im ersten Teil der Case Study hatten Sie sich noch die durchschnittlichen Einkommen auf Landkreisebene in R eingelesen und im zweiten Teil deskriptiv untersucht. Nun sollten Sie diese Tabelle mittels linearer Regression analysieren:

- Erstellen Sie eine Regressionstabelle mittels `modelsummary` in der Sie die Arbeitslosenquote auf die Einkommen für das Jahr 2021 regressieren.
  - Interpretieren Sie ihre Ergebnisse
- Erstellen Sie ein Interaktionsmodell incl. Sample Split mittels `modelsummary` und interpretieren Sie die Ergebnisse ihrer Regressionen.